En El Aleph Borges nos describe un punto situado en las escaleras de una casa, un punto con la curiosa propiedad de que aquel que lo mira es capaz de ver la totalidad del mundo de manera simultánea. El relato consigue una descripción vertiginosa de algo que es a la vez físicamente irrealizable e imposible de describir en un lenguaje lineal. Más allá de la fantasía, y su valor literario, El Aleph, así como otros cuentos de Borges, plantean la posibilidad de aproximarse lo infinitamente variado, numeroso y dispar. A la hora de entender fenómenos completamente alejados de nuestra experiencia resulta extraordinariamente útil sacrificar los detalles y pensar de manera aproximada. Cuando además hablamos de entidades que pueden ser cuantificadas empleando números dicha aproximación se denomina orden de magnitud.

Dicho brevemente, el orden de magnitud de una cantidad es el número de cifras que tiene. Para formalizar esta noción primero introduciremos el concepto de potencia matemática y cómo utilizarlo para establecer una notación en la que el orden de magnitud se hace evidente. Para terminar aplicaremos estas nociones a la resolución de problemas sencillos y hacernos una idea, en líneas muy generales, de las distintas magnitudes que intervienen en la economía, desde cifras domésticas hasta variables macroeconómicas.

Suma, multiplicación, potencia

¿Cual es la multiplicación más fácil posible? Aparte del caso, muy aburrido, de multiplicar por uno, seguramente lo primero que viene a la cabeza es la multiplicación por diez, que zanjamos poniendo un cero al final del número receptor (o corriendo la coma hacia la derecha, si hubiera cifras decimales). Podemos multiplicar 10 por 10 y obtener 100, y seguir multiplicando por diez cuantas veces queramos simplemente añadiendo ceros: 10, 100, 1.000, 10.000, etcétera. Igualmente podemos dividir entre diez situando la coma un dígito más a la izquierda, y poniendo ceros si fuera necesario, empezando por el número 23 obtendríamos 2.3, 0.23, 0.023, etcétera.

La operación matemática que consiste en multiplicar un número por sí mismo una cantidad determinada de veces recibe el nombre de potencia. Para escribir una potencia, al número a multiplicar (o base) se le añade un superíndice (o exponente) que determina cuántas veces ha de multiplicarse por sí mismo de la forma b^e (por la forma en que se representa, esta operación también suele denominarse b elevado a e).  Las primeras potencias de diez serían 10¹=10, 10²=10×10=100, 10³=10x10x10=1000, etcétera. El caso de diez es muy sencillo, ya que la se puede pasar de una a otra notación simplemente contando los ceros.

También es posible introducir la división por diez mediante una potencia negativa, lo que permite representar también los números pequeños. De este modo, 10^-1=1/10=0.1, 10^-2 = 1/10² = 1/(10×10)=0.01, 10^-3=0.001, etcétera. Por consistencia, cualquier número elevado a la potencia cero da uno como resultado. Una propiedad muy interesante de las potencias es que, si la base es la misma, la multiplicación se reduce a la suma de los exponentes. Por ejemplo 10²x10²= 100×100= 10000=10⁽²⁺²⁾= 10⁴, como se puede comprobar fácilmente tanto para potencias positivas como negativas. De la misma manera es posible ver que la potencia de una potencia se reduce a un producto de exponentes: 100²=(10²)²=10^(2×2)=10⁴=10000.

Cualquier número puede representarse como un número decimal multiplicado por una potencia de diez, lo cual resulta muy cómodo e incluso necesario cuando trabajamos con números inmensos o minúsculos. Por ejemplo, el número 0.00000000000000013 se podría escribir como 1.3×10^-17, con el consiguiente ahorro de tinta y esfuerzo al leer, pues la cuenta de los decimales queda guardada en el exponente.

Una forma muy potente de contar: Base diez y exponente de uno en uno

Imaginemos ahora que en lugar de contar sumando uno como hacemos habitualmente decidimos contar multiplicando diez. Lo que tradicionalmente corresponde a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… se convertiría en 1,10,100,1000,10000,100000,1000000, o en la notación exponencial 10⁰, 10¹, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶. Este esquema sirve igual para contar hacia atrás: 0, -1, -2, -3… que contando en base diez se convierte en 1, 10^-1 = 0.1, 10^-2 = 0.01, 10^-3 = 0.001… Se denomina escala lineal a la que obtenemos sumando uno, y escala logarítmica a la que obtenemos multiplicando por diez.

Muchas veces empleamos la notación de potencias de forma implícita, notoriamente cuando hablamos de milésimas =10^-3, millones = 10⁶ o billones = 10¹² (nótese que los billones (billions) anglosajones se corresponden a nuestros “miles de millones” = 10⁹), o empleamos diferentes unidades métricas, como los miligramos = 0.001g=10^-3g o las toneladas = 1000kg = 10⁶g). Una forma muy cómoda de guardar información en los exponentes es mediante el empleo de los prefijos del sistema internacional. De esta forma, podríamos hablar de nano- (10^-9), micro- (10^-6), mili- (10^-3), kilo- (10³), mega- (10⁶), giga- (10⁹), tera- (10¹²) y un largo etcétera. Los prefijos para números pequeños son más conocidos por las unidades de distancia, mientras que los prefijos para cantidades grandes lo son debido a la informática, pero aunque no sea convencional, nada impide emplearlos en otras unidades. Una lista extensiva de los prefijos asociados a potencias de diez puede encontrarse aquí.

El lector probablemente haya notado que faltan muchos números en esta escala, así como una explicación al nombre que hemos dado. Además de representar los números empleando potencias enteras de diez, es posible representar cualquier número positivo como una potencia de diez con un exponente no entero. En este caso se pierde la noción intuitiva de realizar varias veces la misma multiplicación, pero el resultado sigue siendo una operación matemática bien definida. La operación inversa, averiguar qué exponente hay que introducir en una potencia para obtener un resultado determinado se denomina logaritmo, de ahí el nombre de la escala. Por ejemplo, si queremos saber qué exponente de diez da como resultado 5 (el logaritmo de 5 o log(5)), obtendremos aproximadamente 0.699, un valor comprendido entre log(1)=0 y log(10)=1, tal y como esperamos al estar 5 comprendido entre 1 y 10. El logaritmo de 0.00000000000000013 (1.3×10^-17) es aproximadamente −15.89, un número mucho más manejable. Los logaritmos fueron muy importantes para las ciencias y la ingeniería antes de la llegada de las calculadoras, pues debido a las propiedades de las potencias permiten convertir multiplicaciones en sumas y potencias en multiplicaciones.

Razonar en órdenes de magnitud: La importancia de perder los detalles

Pensamos el mundo en escala lineal. Nuestra experiencia cotidiana rebosa de comparaciones entre magnitudes del mismo orden y rara vez tenemos la necesidad de organizar en nuestro pensamiento entidades muy disimiles. La escala logarítmica tiene el poder de reducir números inmensos o magnificar números minúsculos para hacerlos entrar cómodamente en nuestra mente. El precio a pagar es la pérdida de perspectiva en la comparación de magnitudes similares, pues el logaritmo hace nimias las diferencias entre números semejantes.

Si, por ejemplo, estamos pensando en comprar un coche, compararemos los distintos modelos en escala lineal. Pequeñas diferencias en el tamaño pueden ser importantes para evaluar el confort o la facilidad de aparcar en ciudad. En este sentido, una diferencia de un 20% puede ser muy importante. ¿Pero qué pasaría si quisiéramos comparar el tamaño de un coche con el de una célula, la ciudad entera o la distancia que nos separa del Sol? Puede parecer una situación absurda, pero disponer de una escala tan flexible es muy útil para poner orden en nuestro conocimiento del mundo e imaginar magnitudes muy lejanas a nuestra experiencia cotidiana.

Podemos aplicar la misma lógica a muchas situaciones distintas, como números sin dimensiones (cantidad de moléculas en 0.5l de agua ~0.15×10²⁶), probabilidades (obtener rojo en una ruleta 50 veces seguidas: 2.58×10^-14%), o información (tráfico mundial de datos estimado en 2015 2.45×10¹⁴bit/s). Las propiedades de las potencias también facilitan mucho cambiar las unidades a aquellas que nos resulten más cómodas.

Puede parecer que la imprecisión de la escala logarítmica en la comparación de cantidades similares es una desventaja, pero no siempre es así. Si queremos simplemente recordar valores de referencia genéricos, es conveniente olvidarse de los detalles y recordar el valor aproximado.

Por ejemplo, pensemos en cuántas personas caben en un autobús. Sabemos con certeza que diez personas se encontrarán a sus anchas, incluso sentadas, mientras que está claro que cien personas no cabrán o tendrán que estar terriblemente apretadas. La cantidad exacta es importante para quien diseñe el autobús, pero no para nosotros. No importa demasiado que sean 30 o 60, lo importante es que caben unas pocas decenas. Igualmente podemos pensar en que en un estadio grande caben varias decenas de miles de personas (~10⁴) o que la población de las grandes ciudades se miden por millones (~10⁶). Esta determinación nos podría llevar a subestimar en algunos casos, ya que existen estadios capaces de albergar a 10⁵ personas y ciudades con decenas de millones (~10⁷) de habitantes, pero no estaremos haciéndonos una idea demasiado equivocada.

Otro caso en que la escala logarítmica puede ser útil es para resolver pequeños problemas de manera aproximada, o para comprobar un resultado que hayamos obtenido. Supongamos que tenemos que organizar la distribución de bebida en un concierto y decidir cuántos vendedores tendremos que contratar para la tarea. Como buenos profesionales nuestro deber debería ser sentarnos y hacer las cuentas detalladas utilizando datos precisos, pero es posible que antes necesitemos una idea rápida del resultado. Supongamos que es un estadio donde caben unas diez mil personas (10⁴). Una estimación realista es que cada persona tomará, en promedio, medio litro de bebidas, pero para simplificar podemos redondear a 1 litro. La cantidad de refresco a vender es 10⁴ personas x 1 litro por persona = 10⁴ litros. Imaginemos también que el concierto dura una hora, y cada vendedor es capaz de vender 100 litros en ese tiempo (aproximadamente tres latas de 0.33 l por minuto). Entonces, harán falta 10⁴l / (100 litros/vendedor) = 10^(4-2) = 100 vendedores. El resultado es aproximado y un organizador eficiente tendrá que rehacerlo con cifras más realistas, además de poder contratar a vendedores extra para hacer frente a imprevistos. Pero este cálculo rápido nos permite abordar la tarea con una idea en mente.

Esta forma aproximada de tratar cantidades se conoce como órdenes de magnitud. Resolver este problema con los números correctos no requeriría mucho más tiempo, pero la forma en que lo hemos encarado es rápida y únicamente apela a nuestro sentido común a la hora de poner los números, sin necesidad de un conocimiento detallado (si alguien tiene dudas le invito a contar los vendedores de bebida en un concierto grande: Serán más de diez, y seguramente menos de mil a menos que poca gente compre bebida). No hay un criterio fijo, sobre cuando se pasa de un orden de magnitud a otro, por ello es necesario ser flexible,  tener en cuenta que estamos haciendo una aproximación y no olvidar que siempre se pueden rehacer los cálculos con más detalle y precisión si es necesario.

Este tipo de problemas en los que se llega a una solución aproximada mediante un cálculo rápido y sin consultar datos se conoce como problemas de Fermi, en honor al físico Enrico Fermi. Fermi no solo fue un as en la resolución de estos acertijos, sino también uno de los más grandes físicos del siglo XX, ganador del premio Nobel en 1938 por sus trabajos sobre radiactividad y una de las pocas personas que ha conseguido destacar tanto en trabajos teóricos como experimentales de primer nivel. Se cuenta que, tras el ensayo de la primera bomba atómica Fermi fue capaz de estimar la potencia de la explosión dejando caer unos trozos de papel y observando cómo la onda expansiva (muy atenuada por la distancia) los desplazaba en su caída. Con este método obtuvo un buen resultado (la mitad del valor real, medido de manera mucho más sofisticada) teniendo en cuenta la simplicidad de su medida.

Pero esta forma de pensar no solo nos permite hacer estimaciones de manera rápida. También nos permite poner en perspectiva todas las escalas posibles de un sistema. De esta forma, podemos visualizarlo de la misma forma que los observadores del Aleph tenían ante sus ojos la totalidad del mundo durante unos instantes.

La economía mundial en escala logarítmica: Un pequeño viaje por el mundo del dinero

Un ejemplo muy interesante de las posibilidades turísticas que nos permite la escala logarítmica es pensar sobre dinero y hacer un pequeño viaje por la economía mundial. Por simplicidad viajaremos en euros, aunque en el espíritu del orden de magnitud podemos cambiar entre euros, dólares y libras sin cambiar el orden de magnitud de las cifras. Otras monedas tendrán un orden de magnitud ligeramente distinto, probablemente un factor 10 o 100 mayor. En el espíritu de pensar solo en el orden de magnitud daré la mayoría de los valores con una única cifra significativa.

Un buen punto de partida para esta pequeña excursión podría considerarse el precio de una barra de pan. No importa si el precio es algo más bajo o más alto, podemos poner un valor de referencia de un euro: Aunque las barras de pan puedan valer el doble o una cuarta parte de ese precio, la diferencia no es importante cuando comparamos su valor con el producto interior bruto del mundo entero.

Podemos empezar el viaje hacia las cantidades más pequeñas, que inevitablemente será más corto. Aunque hay millones de productos cuyo valor es aproximadamente un euro, se hace más difícil pensar en productos que valgan un céntimo. Un buen ejemplo de cifras en el orden de 1 a 10 céntimos que veo ocasionalmente en mi vida es el abono de intereses de mi cuenta corriente. Pensar en esta pequeña cantidad me trae a la mente otro ejemplo más infantil aunque relacionado: El precio de una golosina. Si queremos ir más allá, tendríamos que empezar a pensar en costes por unidad en lotes al por mayor. Probablemente esa golosina que estamos comprando por unos céntimos (que entre otras cosas están pagando el sueldo del vendedor y el coste de mantener su tienda) tenga un coste de producción diez o cien veces menor, aunque es necesario producir millones de unidades para alcanzarlo.

El comienzo de la escala hacia arriba es fácil, y no nos entretendremos mucho: ¿Diez euros? Un menú del día en un restaurante (una comida es en general más cara, pero lo normal es que se mantenga en el mismo orden de magnitud). ¿Cien euros? Una mesa, las ruedas de un coche… ¿Qué vale mil euros? Aproximadamente un mes de trabajo (suponiendo un empleo digno, aunque cada vez sea más difícil encontrarlo). Este es un buen ejemplo de la escala logarítmica, ya aunque para nosotros la diferencia entre un salario de 600, 1.500 o 4.000 euros es inmensa, estas cantidades prácticamente no se diferencian en la escala logarítmica, que da cabida a magnitudes desde los céntimos hasta los miles de millones de euros en un mismo vistazo. Subiendo un poco encontramos los precios característicos de un coche (~10⁴€) y de una vivienda (~10⁵€). Al igual que en el caso de la barra de pan, existe una gran variabilidad en los precios de ambos conceptos (generalmente hacia valores superiores), pero lo importante es que sirven para tener una idea aproximada.

Esto es una muestra de lo trepidante que puede resultar un viaje en escala logarítmica. En la duración de un párrafo, hemos pasado de hablar del precio de una comida a casi un millón de euros. Nos adentramos en un mundo cada vez más lejano a nuestra experiencia, pero precisamente para estos casos resulta útil la notación de potencias y el pensamiento en órdenes de magnitud.

No soy economista, y he de confesar que para bienes cuyo valor se acerca o supera el millón de euros he tenido que mirar en internet (un buen punto de partida es la página de Wikipedia al respecto). Como estas magnitudes se nos van por las nubes, como ejemplos de los primeros órdenes de magnitud daremos el precio de un helicóptero ligero (~1M€), un helicóptero pesado (~10M€) y un avión comercial (~100M€). Si un avión comercial cuesta varios cientos de millones de euros y si te da miedo volar, la próxima vez que te montes en uno puedes pensar que la compañías aéreas tienen muy buenos motivos para que llegue entero a su destino.

Después de estas cifras, llegamos a los miles de millones de euros. Paradójicamente estas cantidades empiezan a sonar más familiares, ya que se corresponden con el precio de grandes infraestructuras y partidas presupuestarias. Por ejemplo, 1.000M€ es, aproximadamente, lo que costó la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia (¡ouch!), y también el precio del Burj Khalifa, el edificio más grande del mundo situado en Dubai. En la cifra de los 10.000M€ encontramos el valor de las mayores fortunas mundiales (siendo el récord la del mexicano Carlos Slim, de unos 70.000M$). En el siguiente orden de magnitud (~100.000M€) tenemos valores como el producto interior bruto de Grecia.

Y posteriormente llegamos a los billones (millones de millones, que no miles de millones). En torno al billón (1billon de € = 1 Tera € = 1T€ = 1.000.000M€ = 1.000.000.000.000€ = 10¹²€) de euros se estima el la cantidad de dinero en circulación a escala mundial (dinero en metálico, sin incluir cuentas bancarias o productos financieros), el valor de todo el oro extraído a lo largo de la historia, o el coste total de la guerra de Irak (hay varias estimaciones con resultados diferentes). Como curiosidad apuntaré que por un poco más se podría (quizás) construir un cohete que podría (quizás) enviar colonos humanos a Alpha Centauri, nuestra estrella más cercana situada a unos 4 años luz. El viaje duraría al menos 1.300 años y requeriría detonar una serie de explosivos nucleares para acelerar hasta una velocidad de 1.000 kilómetros por segundo. Sin embargo, antes de embarcarse habría que asegurarse de que el destino merece semejante esfuerzo, ya que por supuesto se trata de un viaje solo de ida y no tenemos constancia de que existan planetas en ese sistema.

Los últimos números que entran en esta escala son cantidades macroeconómicas, que dan una idea de la magnitud de la economía global. En la marca de 10 billones de euros nos encontramos el producto interior bruto de la Unión Europea (~17T€), o el precio de mercado de todos los bienes inmuebles en el primer mundo (~60T€). El último orden de magnitud son los cientos de billones: en esta marca estaría el valor de todos los activos financieros existentes en el mundo (~126 T€, de los cuales la mitad se encuentran en la sombra, fuera del alcance de entidades de regulación). Para terminar, el número más alto que se puede asociar al mundo real es la cantidad de productos financieros derivados que causaron la crisis económica, que se contaban por valor de ~460T€ en 2007, justo antes del comienzo de la crisis.

Esta visión simplificada de la jerarquía entre la economía tangible y los productos especulativos dan una idea de la fragilidad del sistema económico: una pirámide invertida cuya caída propició la crisis económica global que sufrimos desde 2008.

Espero haber mostrado cómo perder los detalles y contar únicamente ceros nos permite hacernos una idea de las magnitudes involucradas en un sistema (desde la mínima concebible hasta la máxima  disponible).

Fuentes:

•  https://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_de_diez

•  https://es.wikipedia.org/wiki/Enrico_Fermi

•  https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Fermi

•  https://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_%28bit_rate%29

•  https://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_%28currency%29

•  http://semanaeconomica.com/el-nuevo-sol/2012/06/09/la-piramide-invertida-de-liquidez-global/

Miguel Zumalacárregui Pérez es físico teórico. Se dedica a la investigación en cosmología y gravitación en el Instituto de Física Teórica de la Universidad alemana de Heidelberg. En FronteraD ha publicado Los neutrinos y el límite de velocidad de Einstein y mantiene el blog Persistencia y serendipia.